Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且平面ABCD，，，.

(1)求證：平面平面PCE；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】

（1）取PC中點(diǎn)M,連接BD交AC于O,連接OM,EM.根據(jù)菱形性質(zhì)可得,再由即可證明平面PAC,進(jìn)而利用平行四邊形性質(zhì)可證明,即可得平面PAC,結(jié)合平面與平面垂直的判定即可證明平面平面;

（2）以OB,OC,OM所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可設(shè),寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用向量的數(shù)量積求得平面和

平面的法向量,即可利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得夾角的余弦值.

（1）證明：取PC中點(diǎn)M,連接BD交AC于O,連接OM,EM.如下圖所示:

在菱形ABCD中,,

平面ABCD,平面ABCD,

,

又,PA,平面PAC,

平面PAC,

,M分別是AC,PC的中點(diǎn),

,,

又,,

,,

四邊形OMED是平行四邊形,則,

平面PAC,

又平面PCD,

平面平面PCE.

（2）由(1)得平面PAC﹐則OB,OC,OM兩兩垂直,以OB,OC,OM所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示

設(shè),則,,,,

,,,

設(shè)是平面BPC的一個(gè)法向量,則,即,,

設(shè)是平面FPC的一個(gè)法向量,同理得,

,

由圖可知二面角為銳二面角

二面角的余弦值為.