Question

如圖，拋物線的頂點在坐標原點，且開口向右，點A，B，C在拋物線上，△ABC的重心F為拋物線的焦點，直線AB的方程為。

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)點M為某定點，過點M的動直線l與拋物線相交于P，Q兩點，試推斷是否存在定點M，使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求點M的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）y²＝16x

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，

聯(lián)立消去x，得。                              （2分）

設(shè)點，則，

所以。                          （4分）

設(shè)點，因為△ABC的重心為，則

，所以。                    （5分）

因為點C在拋物線上，則，解得p＝8，此時。

故拋物線方程為y²＝16x。                                                       （6分）

（Ⅱ）設(shè)過定點M的動直線l的方程為，代入拋物線方程y²＝16x，得

，所以。                                       （8分）

若以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則，即。

所以，即，所以.

因為，所以。                                                 （10分）

所以直線l的方程為，即，從而直線l必經(jīng)過定點。（11分）

若直線l的斜率不存在，因為直線與拋物線的交點為，此時仍有。故存在定點滿足條件。                                （13分）