Question

已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值；
（3）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說明理由.

Answer 1

（1）；( Ⅱ)詳見解析；( Ⅲ)詳見解析.

試題分析：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²+bx+c，則f'（x）=-3x²+2x+b．依題意得：，由此能求出實(shí)數(shù)b，c的值．（2）由知，當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，，令f'（x）=0得，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況列表知f（x）在[-1，1）上的最大值為2．當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=alnx．當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0，f（x）最大值為0；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．當(dāng)aln2≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為2；當(dāng)aln2＞2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為aln2．（3）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1．由此入手能得到對任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即   解得
（2）由（1）知，
①當(dāng)時(shí)，，
令得或
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

 
又，，�！�在上的最大值為2.
②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0；
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。
綜上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（3）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即   （*）
若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若，則代入（*）式得：
即，而此方程無解，因此。此時(shí)，
代入（*）式得：    即  （**）
令 ，則
∴在上單調(diào)遞增， ∵    ∴,∴的取值范圍是。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角
三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上。