【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=2 cos(θ﹣ ).
(Ⅰ) 求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值.
【答案】解:(Ⅰ) 由直線l的參數(shù)方程 消去t參數(shù),得x+y﹣4=0,
∴直線l的普通方程為x+y﹣4=0.
由 = .
得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.
將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,
得:曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x+2y,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
(Ⅱ) 法1:設(shè)曲線C上的點(diǎn)為 ,
則點(diǎn)P到直線l的距離為 = =
當(dāng) 時(shí),
∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為 ;
法2:設(shè)與直線l平行的直線為l':x+y+b=0.
當(dāng)直線l'與圓C相切時(shí),得 ,解得b=0或b=﹣4(舍去).
∴直線l'的方程為x+y=0.
那么:直線l與直線l'的距離為
故得曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為 .
【解析】(Ⅰ)消去參數(shù)方程的參數(shù)即可求得普通方程;(Ⅱ)可以利用曲線C的參數(shù)方程設(shè)出曲線C上的一點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而求得曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的一般代數(shù)式,求得其最大值即可;或者求得與直線l平行,且與曲線C相切的直線l'的方程,再求得兩條平行線間的距離,即求得曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三棱錐A﹣BCD的所有棱長(zhǎng)均為6,點(diǎn)P在AC上,且AP=2PC,過(guò)P作四面體的截面,使截面平行于直線AB和CD,則該截面的周長(zhǎng)為( )
A.16
B.12
C.10
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),a+b+c=0,且f(0)f(1)>0,設(shè)x1 , x2是方程f(x)=0的兩個(gè)根,則|x1﹣x2|的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類(lèi)產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元.
(1)分別寫(xiě)出兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;
(2)該家庭有20萬(wàn)元資金,全部用于理財(cái)投資,問(wèn):怎么分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了普及環(huán)保知識(shí),增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),某校從理科甲班抽取60人,從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試.
(Ⅰ)根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)成績(jī)優(yōu)秀與學(xué)生的文理分類(lèi)有關(guān).
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計(jì) | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
總計(jì) | 60 |
(Ⅱ)現(xiàn)已知A,B,C三人獲得優(yōu)秀的概率分別為 ,設(shè)隨機(jī)變量X表示A,B,C三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù),求X的分布列及期望E(X).
附: ,n=a+b+c+d
P(K2>k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)試比較與的大小關(guān)系,并給出證明;
(2)解方程: ;
(3)求函數(shù), (是實(shí)數(shù))的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷的奇偶性;
(3)方程是否有實(shí)根?如果有實(shí)根,請(qǐng)求出一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間,使;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由(注:區(qū)間的長(zhǎng)度)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(﹣1,1,2)、B(1,0,﹣1),設(shè)D在直線AB上,且 =2 ,設(shè)C(λ, +λ,1+λ),若CD⊥AB,則λ的值為( )
A.
B.﹣
C.
D.
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【題目】某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)件,需另投入成本,當(dāng)年產(chǎn)量不足80件時(shí), (萬(wàn)元),當(dāng)年產(chǎn)量不少于80件時(shí)(萬(wàn)元),每件商品售價(jià)50萬(wàn)元,通過(guò)市場(chǎng)分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
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