Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2，M為AD中點(diǎn)．

(Ⅰ) 證明；
(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長．

Answer 1

(Ⅰ).由已知為正三角形，；(Ⅱ) AB＝．

試題分析：(Ⅰ).由已知為正三角形，
(Ⅱ) 方法一：設(shè)AB＝x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得DG⊥AF．
因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，
所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．過G作GH⊥BF，垂足為H，
連結(jié)DH，則DH⊥BF，
所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．
在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以GH＝．
在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．
因?yàn)閏os∠DHG＝＝，得x＝，所以AB＝．
方法二：設(shè)AB＝x．以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．
則F(0，0，0)，A(－2， 0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．
因?yàn)镋F⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．
設(shè)＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．因?yàn)閏os<，>＝＝，
得x＝，所以AB＝．
方法三：以M為原點(diǎn)，MA， MF所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．略
點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。本題利用向量簡化了證明過程。把證明問題轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)運(yùn)算，這種方法帶有方向性。