【題目】如圖,在四棱錐中, 底面, , , 是的中點.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)證明平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由題意可得CD⊥平面PAC,結(jié)合線面垂直的定義即可得到AE⊥CD;
(Ⅱ)由題意可得AE⊥PD,AB⊥PD.利用線面垂直的判斷定理可得證明平面;
(Ⅲ)由題意找到二面角的平面角,結(jié)合三角形的邊長關(guān)系可得二面角的大小是.
試題解析:
(I)證明:在四棱錐PABCD中,
因PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,故PA⊥CD.
∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.
而AE平面PAC,
∴AE⊥CD.
(II)證明:由PA=AB=BC,∠ABC=60,可得AC=PA.
∵E是PC的中點,∴AE⊥PC.
由(I)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.
而PD平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,PD在底面ABCD內(nèi)射影是AD,AB⊥AD,∴AB⊥PD.
又AB∩AE=A,綜上得PD⊥平面ABE.
(III)過點A作AM⊥PD,垂足為M,連接EM.
由(II)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則EM⊥PD.
因此∠AME是二面角APDC的平面角。
由已知,得∠CAD=30°.設AC=a,可得 .
在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM.PD=PA.AD.則 .
在Rt△AEM中, .
所以二面角APDC的大小是 .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0},B={x|x2﹣5x+6=0},C={2,﹣4},若A∩B≠,A∩C=,求實數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設關(guān)于x的方程x2+px﹣12=0和x2+qx+r=0的解集分別是A,B,且A≠B.A∪B={﹣3,2,4},A∩B={﹣3}.求p,q,r的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設復數(shù)z=a+i(i是虛數(shù)單位,a∈R,a>0),且|z|= .
(Ⅰ)求復數(shù)z;
(Ⅱ)在復平面內(nèi),若復數(shù)+(m∈R)對應的點在第四象限,求實數(shù)m取值范圍.
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【題目】給出下列四個命題:
①函數(shù)y=|x|與函數(shù)y=( )2表示同一個函數(shù);
②奇函數(shù)的圖象一定通過直角坐標系的原點;
③若函數(shù)f(x)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域為[0,4];
④設函數(shù)f(x)是在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)的函數(shù),且f(a)f(b)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至少有一實根;
其中正確命題的序號是(填上所有正確命題的序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1, (n∈N+).
(1)證明:數(shù)列 是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(3)設bn=n(n+1)an , 求數(shù)列{bn}的前n項和Sn .
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