若數(shù)列{an}滿足a1=1,且 an+1=
an
1+an

(1)證明:數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和記為Sn,且sn=2-bn,n∈N*,求數(shù)列{
bn
an
}的前n項和Tn
分析:(1)兩邊取倒數(shù)可得
1
an+1
=
1
an
+1
,從而可知數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,且公差為1,可求得
1
an
,進而可得an
(2)由bn=Sn-Sn-1可得遞推式,由此可判斷數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,可求bn,進而可求
bn
an
,利用錯位相減法可求得Tn;
解答:(1)證明:由已知得
1
an+1
=
1
an
+1

所以數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,且公差為1,
又a1=1,所以
1
an
=1+(n-1)•1=n,
所以an=
1
n
;
(2)解:由sn=2-bn,得b1=1,
bn=Sn-Sn-1=2-bn-(2-bn-1)=bn-1-bn,
所以2bn=bn-1(n≥2),
則數(shù)列{bn}是公比為
1
2
,b1=1的等比數(shù)列,
所以bn=(
1
2
)n-1
,
bn
an
=n•(
1
2
)n

Tn=1+2×(
1
2
)+3×(
1
2
)2+
…+n•(
1
2
)n-1
,①
1
2
Tn=
1
2
+2×(
1
2
)2+3×(
1
2
)3
+…+n•(
1
2
)n
,②
①-②得,
1
2
Tn=1+
1
2
+(
1
2
)2
+…+(
1
2
)n-1-n•(
1
2
)n
=2-
2+n
2n

所以Tn=4-
2+n
2n-1
點評:本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式及錯位相減法對數(shù)列求和,屬中檔題.
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下列關(guān)于數(shù)列的命題中,正確的是( 。

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a
2
n
=d
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1
m
,那么正數(shù)m的最小取值是(  )

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A.5
B.
C.7
D.

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若數(shù)列{an}滿足a≤an≤b,其中a、b是常數(shù),則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列,a是數(shù)列{an}的下界,b是數(shù)列{an}的上界.現(xiàn)要在區(qū)間[-1,2)中取出20個數(shù)構(gòu)成有界數(shù)列{bn},并使數(shù)列{bn}有且僅有兩項差的絕對值小于,那么正數(shù)m的最小取值是( )
A.5
B.
C.7
D.

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