Question

定義在上的單調(diào)函數(shù)滿足，且對(duì)任意都有
（1）求證：為奇函數(shù)；
（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）．

試題分析：(1)這是抽象函數(shù)問(wèn)題，要證明它是奇函數(shù)，當(dāng)然要根據(jù)奇函數(shù)的定義，證明或，由此在已知式里設(shè)，從而有，因此我們還要先求出，這個(gè)只要設(shè)或者有一個(gè)為0即可得，故可證得為奇函數(shù)；（2）不等式可以利用為奇函數(shù)的結(jié)論，變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性去掉符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式恒成立問(wèn)題，即對(duì)任意成立，這時(shí)還需要用換元法（設(shè)）變化二次不等式怛成立，當(dāng)然不要忘記的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）證明：∵         ①
令，代入①式，得即
令，代入①式，得，又
則有即對(duì)任意成立，
所以是奇函數(shù).                      4分
（Ⅱ）解：，即，又在上是單調(diào)函數(shù)，
所以在上是增函數(shù).
又由（1）是奇函數(shù).
，即對(duì)任意成立.
令，問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立.   8分
令其對(duì)稱(chēng)軸.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，符合題意；       10分
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立
解得                     12分
綜上所述，對(duì)任意恒成立時(shí)，
實(shí)數(shù)的取值范圍是：.                 13分