【題目】如圖,有一塊三棱錐形木塊,各面均是銳角三角形,其中面內(nèi)有一點(diǎn).

1)若要在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)畫(huà)一條線(xiàn)段,其中點(diǎn)在線(xiàn)段上,點(diǎn)在線(xiàn)段上,且滿(mǎn)足垂直,該如何求作?請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線(xiàn)段并說(shuō)明畫(huà)法,不必證明;

2)經(jīng)測(cè)量,,,,,若恰為三角形的重心,為(1)中所求線(xiàn)段,求三棱錐的體積.

【答案】1)作圖詳見(jiàn)解析;(2.

【解析】

1)先在上任取一點(diǎn),分別在平面和平面內(nèi)作的垂線(xiàn)分交、于點(diǎn),可得出平面,進(jìn)而得出,然后分兩種情況討論,,即可作出;

2)先證明出,根據(jù)重心的性質(zhì)得出三棱錐的體積為三棱錐體積的,利用余弦定理計(jì)算出、,進(jìn)而計(jì)算出的面積,由此可計(jì)算出三棱錐的體積,進(jìn)而得出三棱錐的體積.

1)如圖,在上任取一點(diǎn);

過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線(xiàn),交;

過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線(xiàn),交.

連接,若過(guò)點(diǎn),則就是所求線(xiàn)段

不過(guò)點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)的平行線(xiàn),與、相交即得線(xiàn)段.

2)取中點(diǎn),連、,

因?yàn)?/span>為三角形的重心,故上,且.

由題意知,,,,故平面,

平面,

共面,于是,,

故三棱錐的體積為三棱錐體積的.

,,則為等邊三角形,

,

中,由余弦定理得,

整理得,解得.

,此時(shí)為等腰三角形,,,合乎題意;

,則,為鈍角,不合乎題意.

同理可得,

中,,,由余弦定理得,

,

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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