【題目】如圖,有一塊三棱錐形木塊,各面均是銳角三角形,其中面內(nèi)有一點(diǎn).
(1)若要在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)畫(huà)一條線(xiàn)段,其中點(diǎn)在線(xiàn)段上,點(diǎn)在線(xiàn)段上,且滿(mǎn)足與垂直,該如何求作?請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線(xiàn)段并說(shuō)明畫(huà)法,不必證明;
(2)經(jīng)測(cè)量,,,,,若恰為三角形的重心,為(1)中所求線(xiàn)段,求三棱錐的體積.
【答案】(1)作圖詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)先在上任取一點(diǎn),分別在平面和平面內(nèi)作的垂線(xiàn)分交、于點(diǎn)、,可得出平面,進(jìn)而得出,然后分兩種情況討論,和,即可作出;
(2)先證明出,根據(jù)重心的性質(zhì)得出三棱錐的體積為三棱錐體積的,利用余弦定理計(jì)算出、,進(jìn)而計(jì)算出的面積,由此可計(jì)算出三棱錐的體積,進(jìn)而得出三棱錐的體積.
(1)如圖,在上任取一點(diǎn);
過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線(xiàn),交于;
過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線(xiàn),交于.
連接,若過(guò)點(diǎn),則就是所求線(xiàn)段;
若不過(guò)點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn),與、相交即得線(xiàn)段.
(2)取中點(diǎn),連、,
因?yàn)?/span>為三角形的重心,故在上,且.
由題意知,,,,故平面,
平面,,
又,與共面,于是,,
故三棱錐的體積為三棱錐體積的.
,,則為等邊三角形,,
,
在中,由余弦定理得,
整理得,解得或.
若,此時(shí)為等腰三角形,,,合乎題意;
若,則,為鈍角,不合乎題意.
同理可得,,
在中,,,,由余弦定理得,
,,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足,且,當(dāng)時(shí),.已知方程在區(qū)間上所有的實(shí)數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則__________,__________.
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【題目】甲、乙兩人投籃命中的概率分別為與,各自相互獨(dú)立.現(xiàn)兩人做投籃游戲,共比賽3局,每局每人各投一球.
(1)求比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1的概率;
(2)設(shè)表示比賽結(jié)束后甲、乙兩人進(jìn)球數(shù)的差的絕對(duì)值,求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知集合,,,令表示集合所含元素的個(gè)數(shù).
(1)寫(xiě)出的值;
(2)當(dāng)時(shí),寫(xiě)出的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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【題目】某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多),要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡,要求同一條線(xiàn)段兩端的燈泡不同色,則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有 種(用數(shù)字作答).
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【題目】一個(gè)三位數(shù):個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為,,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),稱(chēng)這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243),現(xiàn)從集合中取出三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù),則這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知射線(xiàn)l:θ=與曲線(xiàn)C:(t為參數(shù))相交于A,B兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出射線(xiàn)l的參數(shù)方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求線(xiàn)段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo).
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【題目】揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)系有6名大學(xué)生要去甲、乙兩所中學(xué)實(shí)習(xí),每名大學(xué)生都被隨機(jī)分配到兩所中學(xué)的其中一所.
(1)求6名大學(xué)生中至少有1名被分配到甲學(xué)校實(shí)習(xí)的概率;
(2)設(shè),分別表示分配到甲、乙兩所中學(xué)的大學(xué)生人數(shù),記,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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