Question

定義在R上的函數(shù)f（x）：當sinx≤cosx時，f（x）=cosx；當sinx＞cosx時，f（x）=sinx．給出以下結論：
①f（x）是周期函數(shù)     
②f（x）的最小值為-1
③當且僅當x=2kπ（k∈Z）時，f（x）取最大值
④當且僅當2kπ-

π

2

＜x＜(2k+1)π  (k∈Z)時，f（x）＞0
⑤f（x）的圖象上相鄰最低點的距離是2π
其中正確命題的序號是

 

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，做出函數(shù)在一個周期上的圖象，觀察函數(shù)的圖象，分別求解函數(shù)的周期，最值及取得最值的條件分別進行驗證即可．

解答：解：做出正弦函數(shù)y=sinx與y=cosx在一個周期上的圖象如下圖，取函數(shù)的最大值
觀察圖象可知函數(shù)以2π為周期的周期函數(shù)，故①正確
觀察函數(shù)的圖象可得函數(shù)的最小值為-

2

2

，故②錯誤
當x=2kπ，或x=2kπ+

π

2

時函數(shù)取最大值故③錯誤
由圖象可知，當2kπ-

π

2

＜x＜(2k+1)π  (k∈Z)時，f（x）＞0，故④正確
由圖象可知相鄰的最低點的距離為一個周期即2π，故⑤正確
故答案為：①④⑤

點評：本題主要考查了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查了識別圖象的能力及由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．解題的關鍵是要由題中的定義找出函數(shù)所對應的圖象，結合圖象求解函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結合思想的應用．