Question

已知函數(shù)，
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：.

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）詳見(jiàn)解析

試題分析：（1）對(duì)于確定函數(shù)的單調(diào)性，可利用的解集和定義域求交集，得遞增區(qū)間；的解集和定義域求交集，得遞減區(qū)間，如果和的解集不易解出來(lái)，可采取間接判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的辦法，該題，無(wú)法解不等式和，可設(shè)
，再求導(dǎo)>0,故在遞增，又發(fā)現(xiàn)特殊值，所以在小于0，在大于0，單調(diào)性可判斷；（2）要證明，可證明，由(1)知，函數(shù)在遞減，遞增，而無(wú)意義，所以可考慮對(duì)不等式等價(jià)變形，從而，寫(xiě)成積的形式，判斷每個(gè)因式的符號(hào)即可（注：這樣將.與分開(kāi)另一個(gè)目的是為了便于求導(dǎo)）.
試題解析：(1),設(shè),則且,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), ,從而單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí), ,從而單調(diào)遞增，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）證明：原不等式就是，即，令，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且時(shí)，.