Question

若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N滿足條件：
①M(fèi)、N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；
②M、N關(guān)于y軸對(duì)稱．則稱點(diǎn)對(duì)[M，N]為函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn)對(duì)[M，N]與[N，M]為同一“友好點(diǎn)對(duì)”）．
已知函數(shù)f（x）=

log4x，x＞0 x2+2x，x≤0

，此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”，只須作出函數(shù)y=x²+2x（x≤0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log₄x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
則f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
則函數(shù)y=x²+2x（x≤0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是y=x²-2x（x≥0）
由題意知，作出函數(shù)y=x²-2x（x≥0）的圖象及函數(shù)f（x）=log₄x（x＞0）的圖象，
如下圖所示：

由圖可得兩個(gè)函數(shù)圖象共有兩個(gè)交點(diǎn)
即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有：2個(gè)．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解，合理地利用圖象法解決．