已經(jīng)三角形的三邊分別是整數(shù)l,m,n,且l>m>n,已知{}={}={},其中{x}=x-[x],而[x]表示不超過x的最大整數(shù).則這種三角形周長的最小值為   
【答案】分析:根據(jù){}={}={},可知3l、3m、3n的末四位數(shù)字相同即求滿足3l°3m≡3n( mod 104)的l、m、n,利用取余以及數(shù)的分析,即可求得結(jié)論.
解答:解:∵{}={}={},∴3l、3m、3n的末四位數(shù)字相同,,
即求滿足3l°3m≡3n( mod 104)的l、m、n.∴3n(3l-n-1)≡0 (mod 104).(l-n>0)
但 (3n,104)=1,故必有3l-n≡1(mod 104);同理3m-n≡1(mod 104).
下面先求滿足3x≡1(mod 104)的最小正整數(shù)x.
∵j(104)=104´´=4000.故x|4000.用4000的約數(shù)試驗(yàn):
∵x=1,2,時(shí)3x1(mod 10),而34≡1(mod 10),∴x必須是4的倍數(shù);
∵x=4,8,12,16時(shí)3x1(mod 102),而320≡1(mod 102),∴x必須是20的倍數(shù);
∵x=20,40,60,80時(shí)3x1(mod 103),而3100≡1(mod 103),∴x必須是100的倍數(shù);
∵x=100,200,300,400時(shí)3x1(mod 104),而3500≡1(mod 104).
即,使3x≡1(mod 104)成立的最小正整數(shù)x=500,從而l-n、m-n都是500的倍數(shù),
設(shè)l-n=500k,m-n=500h,(k,h∈N*,k>h).
由m+n>l,即n+500h+n>n+500k,Þn>500(k-h)≥500,故n≥501.
取n=501,m=1001,l=1501,即為滿足題意的最小三個(gè)值.
∴所求周長的最小值為3003.
故答案為3003.
點(diǎn)評:此題屬與難題.考查指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用和取余以及對數(shù)的分析,要求基礎(chǔ)理論要扎實(shí),是一道競賽題,好題.
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已經(jīng)三角形的三邊分別是整數(shù)l,m,n,且l>m>n,已知{
3l
104
}={
3m
104
}={
3n
104
},其中{x}=x-[x],而[x]表示不超過x的最大整數(shù).則這種三角形周長的最小值為
 

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已經(jīng)三角形的三邊分別是整數(shù)l,m,n,且l>m>n,已知{數(shù)學(xué)公式}={數(shù)學(xué)公式}={數(shù)學(xué)公式},其中{x}=x-[x],而[x]表示不超過x的最大整數(shù).則這種三角形周長的最小值為________.

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已經(jīng)三角形的三邊分別是整數(shù)l,m,n,且l>m>n,已知{
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104
}={
3m
104
}={
3n
104
},其中{x}=x-[x],而[x]表示不超過x的最大整數(shù).則這種三角形周長的最小值為______.

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