【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD= BC, = .
(1)求證:DE⊥平面PAC;
(2)若直線PE與平面PAC所成角的正弦值為 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,
設AB=AD= BC=2,
則D(0,2,0),E(2,1,0),A(0,0,0),C(2,4,0),
=(2,﹣1,0), =(2,4,0),
=4﹣4+0=0,∴DE⊥AC,
∵PA⊥平面ABCD,DE平面ABCD,∴DE⊥PA,
∵PA∩AC=A,∴DE⊥平面PAC
(2)解:設P(0,0,t),(t>0), =(0,0,t), =(2,4,0), =(2,1,﹣t),
設平面PAC的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=2,得 =(2,﹣1,0),
∵直線PE與平面PAC所成角的正弦值為 ,
∴ = = ,解得t=1,或t=﹣1(舍),
∴P(0,0,1), =(2,4,﹣1), =(0,2,﹣1),
設平面PCD的法向量 =(a,b,c),
則 ,取b=1,得 =(﹣1,1,2),
設二面角A﹣PC﹣D的平面角為θ,
則cosθ= = = .
二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為 .
【解析】(1)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明DE⊥平面PAC.(2)求出平面PAC的法向量和平面PCD的法向量,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想).
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【題目】[選修4-4 , 坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).(10分)
(1)若a=﹣1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l距離的最大值為 ,求a.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x-a(x-1),g(x)=ex.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)h(x)=f(x+1)+g(x),當x>0時,h(x)>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 某廠一批產(chǎn)品的次品率為 ,則任意抽取其中10件產(chǎn)品一定會發(fā)現(xiàn)一件次品
B. 擲一枚硬幣,連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上,第六次出現(xiàn)反面向上的概率與正面向上的概率仍然都為0.5
C. 某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,那么前9個病人都沒有治愈,第10個人就一定能治愈
D. 氣象部門預報明天下雨的概率是90%,說明明天該地區(qū)90%的地方要下雨,其余10%的地方不會下雨
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【題目】下表是最近十屆奧運會的年份、屆別、主辦國,以及主辦國在上屆獲得的金牌數(shù)、當屆
獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù):
年份 | 1972 | 1976 | 1980 | 1984 | 1988 | 1992 | 1996 | 2000 | 2004 | 2008 |
屆別 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
主辦國家 | 聯(lián)邦 德國 | 加拿大 | 蘇聯(lián) | 美國 | 韓國 | 西班牙 | 美國 | 澳大 利亞 | 希臘 | 中國 |
上屆金牌數(shù) | 5 | 0 | 49 | 未參加 | 6 | 1 | 37 | 9 | 4 | 32 |
當界金牌數(shù) | 13 | 0 | 80 | 83 | 12 | 13 | 44 | 16 | 6 | 51 |
某體育愛好組織,利用上表研究所獲金牌數(shù)與主辦奧運會之間的關(guān)系,
(1)求出主辦國在上屆所獲金牌數(shù)(設為)與在當屆所獲金牌數(shù)(設為)之間的線性回歸方程
其中
(2)在2008年第29屆北京奧運會上日本獲得9塊金牌,則據(jù)此線性回歸方程估計在2020 年第 32 屆東
京奧運會上日本將獲得的金牌數(shù)為(所有金牌數(shù)精確到整數(shù))
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【題目】如圖,將邊長為6的等邊三角形各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正三棱柱形的容器.
(1)若這個容器的底面邊長為,容積為,寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并注明定義域;
(2)求這個容器容積的最大值.
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【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)證明:AE⊥平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的正弦值.
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【題目】為了探究某市高中理科生在高考志愿中報考“經(jīng)濟類”專業(yè)是否與性別有關(guān),現(xiàn)從該市高三理科生中隨機抽取50各學生進行調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:(單位:人).
報考“經(jīng)濟類” | 不報“經(jīng)濟類” | 合計 | |
男 | 6 | 24 | 30 |
女 | 14 | 6 | 20 |
合計 | 20 | 30 | 50 |
(Ⅰ)據(jù)此樣本,能否有99%的把握認為理科生報考“經(jīng)濟類”專業(yè)與性別有關(guān)?
(Ⅱ)若以樣本中各事件的頻率作為概率估計全市總體考生的報考情況,現(xiàn)從該市的全體考生(人數(shù)眾多)中隨機抽取3人,設3人中報考“經(jīng)濟類”專業(yè)的人數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的概率分布及數(shù)學期望.
附:參考數(shù)據(jù):
P(X2≥k) | 0.05 | 0.010 |
k | 3.841 | 6.635 |
(參考公式:X2= )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2x﹣)x,則下列結(jié)論中正確的是( 。
A.若﹣3≤m<n,則f(m)<f(n)
B.若m<n≤0,則f(m)<f(n)
C.若f(m)<f(n),則m2<n2
D.若f(m)<f(n),則m3<n3
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