若 數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）
（1）若首項(xiàng)a1=1，且對(duì)于任意的正整數(shù)n（n≥2）均有
Sn+k
Sn-k
=
an-k
an+k
，（其中k為正實(shí)常數(shù)），試求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為a1，k為給定的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：
①a1＞0，且0＜q＜1
②對(duì)任意的正整數(shù)n，均有Sn-k＞0；
試求函數(shù)f（n）=
Sn+k
Sn-k
+k
an-k
an+k
的最大值（用a1和k表示）
分析：（1）先根據(jù)
Sn+k
Sn-k
=
an-k
an+k
，（其中k為正實(shí)常數(shù)），求出Sn=-an（n≥2），然后利用an=Sn-Sn-1進(jìn)行求解，注意驗(yàn)證首項(xiàng)；
（2）先求出f（n+1），然后根據(jù)條件判定f（n+1）-f（n）的符號(hào)，從而確定f（n）的單調(diào)性，從而求出最大值．
解答：解：（1）∵
Sn+k
Sn-k
=
an-k
an+k
，（其中k為正實(shí)常數(shù)），
∴Sn=-an（n≥2）
∴當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=-an+an-1
即
an
an-1
=
1
2
，a2=-
1
2

∴an=
-(
1
2
)n-1，n≥2
1，n=1

（2）f（n）=
Sn+k
Sn-k
+k
an-k
an+k

f（n+1）=
Sn+1+k
Sn+1-k
+k
an+1-k
an+1+k
=
Sn+an+1+k
Sn+an+1-k
+k
anq -k
anq+k

∵a1＞0，且0＜q＜1對(duì)任意的正整數(shù)n，均有Sn-k＞0
∴f（n+1）-f（n）=
Sn+an+1+k
Sn+an+1-k
+k
anq -k
anq+k
-
Sn+k
Sn-k
+k
an-k
an+k
＜0
∴f（n）關(guān)于n是一個(gè)單調(diào)遞減的函數(shù)，最大值為
a1+k
a1-k
+k
a1-k
a1+k
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的單調(diào)性的判定和最值的求解，是一道綜合題，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=n2+n-1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列an前n項(xiàng)的和Sn滿(mǎn)足log2（Sn+1）=n+1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法：
①若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且p+q=r（p，q，r為正整數(shù)）則ap+aq=ar；
②若數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=(n+1)2，則{an}是等差數(shù)列；
③若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=2an，則{an}是公比為2的等比數(shù)列；
④若數(shù)列{an}滿(mǎn)足Sn=2an-1，則{an}是首項(xiàng)為1，公比為2等比數(shù)列．
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義：若數(shù)列{an}對(duì)任意n∈N*，滿(mǎn)足
an+2-an+1
an+1-an
=k（k為常數(shù)），稱(chēng)數(shù)列{an}為等差比數(shù)列．
（1）若數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=3（an-2），求{an}的通項(xiàng)公式，并判斷該數(shù)列是否為等差比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，試判斷{an}是否一定為等差比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）若數(shù)列{an}為等差比數(shù)列，定義中常數(shù)k=2，a2=3，a1=1，數(shù)列{
2n-1
an+1
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)一模）定義x1，x2，…，xn的“倒平均數(shù)”為
n
x1+x2+…+xn
（n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}前n項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為
1
2n+4
，求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn=2．若Tn為{bn}前n項(xiàng)的倒平均數(shù)，求
lim
n→∞
Tn；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=-x2+4x，對(duì)（1）中的數(shù)列{an}，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時(shí)，f（x）≤
an
n+1
對(duì)任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)λ；若不存在，說(shuō)明理由．

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