Question

【題目】平面直角坐標系中，已知點，直線，動點到點的距離比它到直線的距離小2.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)斜率為2的直線與曲線交于、兩點（點在第一象限），過點作軸的平行線，問在坐標平面中是否存在定點，使直線交直線于點，且恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）根據(jù)定義可知動點的軌跡為拋物線，且，所以方程為；

（2）假設(shè)存在點滿足題意，由知，設(shè)斜率為2的直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達定理以及斜率公式可得結(jié)果.

（1）設(shè)，動點到點的距離比到直線的距離小2，

即是動點到點的距離等于到直線的距離，

由拋物線的定義知動點的軌跡為拋物線，且，

所以，所以其標準方程為.

（2）假設(shè)存在點滿足題意，

設(shè)斜率為2的直線方程為，

設(shè)，

由知，

由，

整理得

所以

所以.

即，

整理得，

∴存在滿足題意.