Question

（04年湖南卷理）（14分）

如圖，直線與相交于點(diǎn)P。直線與x軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線交直線于點(diǎn)，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)，，，，…。點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列。

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）比較與的大小。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明：設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)是，由已知條件得

點(diǎn)Q_n、P_n+1的坐標(biāo)分別是：

由P_n+1在直線l₁上，得 

所以    即 

（Ⅱ）解：由題設(shè)知 又由（Ⅰ）知 ，

所以數(shù)列  是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.

從而 

（Ⅲ）解：由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.

所以 

   

（i）當(dāng)時(shí)，>1+9=10.

而此時(shí) 

（ii）當(dāng)時(shí)，<1+9=10.

而此時(shí)