【題目】如圖,在正方形中,分別是的中點(diǎn),將正方形沿著線段折起,使得,設(shè)為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理,證得⊥平面,從而得到,再利用等邊三角形的特征,得到,之后利用線面垂直的判定定理證得平面;
(2)利用兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求得兩個(gè)平面的法向量,之后求出兩個(gè)法向量所成角的余弦值,進(jìn)而得到二面角的余弦值.
(1)∵分別為正方形的邊的中點(diǎn),
∴
又平面,平面,,∴⊥平面,
∵平面,∴,
∵,,∴是等邊三角形,
∵為的中點(diǎn)., ∴.
又,面面,,∴平面.
(2)設(shè)中點(diǎn)為,連結(jié),則兩兩垂直,不妨設(shè).
以為原點(diǎn),以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖:
則,,.,.
∴,,
設(shè)平面的法向量為,
則,令,得
而為平面的一個(gè)法向量
∴
二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足,,,數(shù)列滿足.
(1)證明是等差數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,,記表示不超過x的最大整數(shù),求關(guān)于n的不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(Ⅱ)求函數(shù)的極值;
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長為.
(1)求的方程;
(2)如圖,經(jīng)過橢圓左頂點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,過點(diǎn)作(為坐標(biāo)原點(diǎn))垂直的直線交直線于點(diǎn),且面積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長,面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長,面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一棟6層樓房里,每個(gè)房間的門牌號均為三位數(shù),首位代表樓層號,后兩位代表房間號,如218表示的是第2層第18號房間,現(xiàn)已知有寶箱藏在如下圖18個(gè)房間里的某一間,其中甲同學(xué)只知道樓層號,乙同學(xué)只知道房間號,不知道樓層號,現(xiàn)有以下甲乙兩人的一段對話:
甲同學(xué)說:我不知道,你肯定也不知道;
乙同學(xué)說:本來我也不知道,但是現(xiàn)在我知道了;
甲同學(xué)說:我也知道了.
根據(jù)上述對話,假設(shè)甲乙都能做出正確的推斷,則藏有寶箱的房間的門牌號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線不與坐標(biāo)軸垂直,且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),求直線的方程;
(2)設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)且與直線垂直的直線交拋物線于,兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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