精英家教網(wǎng)如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的最小值．
分析：（Ⅰ）先利用離心率為
3
2
得到關(guān)于a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5
，即可求出a，b，c，進(jìn)而得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）先利用EP⊥EQ把所求問題轉(zhuǎn)化為
EP
2，再利用點(diǎn)P在拋物線上，利用拋物線上的點(diǎn)的范圍限制即可求出
EP
•
QP
的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由離心率 e=
c
a
=
3
2
，得
b
a
=
1-e2
=
1
2
∴a=2b①
∵原點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5

∴
ab
a2+b2
=
6
5
5
②，
將①代入②，得b2=9，∴a2=36
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
36
+
y2
9
=1
（Ⅱ）因?yàn)镋P⊥EQ∴
EP
•
EQ
=0
∴
EP
•
QP
=
EP
•(
EP
-
EQ
)=
EP
2
設(shè)P（x，y），則
x2
36
+
y2
9
=1，即 y2=9-
x2
4

∴
EP
•
QP
=
EP
2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+9-
x2
4
=
3
4
(x-4)2+6
∵-6≤x≤6，∴6≤
3
4
(x-4)2+6≤81
則
EP
•
QP
的最小值為：6．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關(guān)鍵是利用條件列出關(guān)于a，b，c之間的方程．第二問重點(diǎn)是數(shù)量積的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知中心在原點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），離心率e=
6
3
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)A且斜率為1的直線交橢圓E于A、C兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O與AC垂直的直線交橢圓E于B、D兩點(diǎn)，求證A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知中心在原點(diǎn)0、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓T過點(diǎn)M（2，1），離心率為
3
2
；拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸且過點(diǎn)M．
（Ⅰ）當(dāng)直線l0經(jīng)過橢圓T的左焦點(diǎn)且平行于OM時，求直線l0的方程；（Ⅱ）若斜率為-
1
4
的直線l不過點(diǎn)M，與拋物線C交于A、B兩個不同的點(diǎn)，求證：直線MA，MB與X軸總圍成等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（12分）如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，滿足，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆四川省綿陽市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

如圖，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)（，），且它的左焦點(diǎn)F1將長軸分成2∶1，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)．

    （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

    （2）設(shè)P是橢圓上不同于左右頂點(diǎn)的動點(diǎn)，延長F1P至Q，使Q、F2關(guān)于∠F1PF2的外角平分線l對稱，求F2Q與l的交點(diǎn)M的軌跡方程．

 

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