Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，G在CD上，且CG=

CD

4

，H為C₁G的中點(diǎn)，求：
（1）FH的長(zhǎng)；
（2）三角形FHB的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出F、H的坐標(biāo)，即可求解距離；
（2）求出三角形的三邊的長(zhǎng)，即可求解三角形FHB的周長(zhǎng)．

解答：解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由于正方體的棱長(zhǎng)為1，則有D（0，0，0），B（1，1，0），G（0，

3

4

，0），C₁（0，1，1）．
（1）因?yàn)镕和H分別為BD和C₁G的中點(diǎn)，
所以F（

1

2

，

1

2

，0），H（0，

7

8

，

1

2

）．
所以FH=

( 1 2 -0)2+( 1 2 - 7 8 )2+(0- 1 2 )2

=

41

8

．
（2）由（1）可知FH=

41

8

，
又BH=

(0-1)2+(1- 7 8 )2+(0- 1 2 )2

=

9

8

，
BF=

2

2

，
所以三角形FHB的周長(zhǎng)等于

4 2 + 41 +9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中兩點(diǎn)的距離公式的應(yīng)用，距離空間直角坐標(biāo)系求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．考查空間想象能力以及計(jì)算能力．