精英家教網(wǎng)如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,分別過A、C作平面ABC的垂線AA′和CC′,AA′=h1,CC′=h2,且h1>h2,連接A′C和AC′交于點(diǎn)P.
(I)設(shè)點(diǎn)M為BC中點(diǎn),求證:直線PM與平面A′AB不平行;
(II)設(shè)O為AC中點(diǎn),若h1=2,二面角A-A′C′-B等于45°,求直線OP與平面A′BP所成的角.
分析:(I)由要證明的結(jié)論的特點(diǎn),考慮利用反證法:假設(shè)直線PM∥平面A′AB可得PM∥A′B,又M為BC的中點(diǎn),故可得P為A′C的中點(diǎn),又AA′∥CC'可得
h1
h2
=1
與h1>h2矛盾
(II)連接BO,則BO⊥AC由A′A⊥平面ABC可得平面A′ACC′⊥平面ABC,則BO⊥平面A′ACC',在平面A′ACC′內(nèi)過O作A′C′的垂線,垂足為D,連接OD,則∠BDO為二面角B-A′C′-A的平面角,結(jié)合已知條件可求
解答:解:(I)證明:連接PM,假設(shè)直線PM∥平面A′AB
∵PM?平面A′BC,平面A′BC∩平面A′AB=A′B
∴PM∥A′B
又∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),故P為A′C的中點(diǎn)
∵AA′⊥平面ABC,CC′⊥平面ABC
AA′∥CC′
AA
CC
=
AP
PC
h1
h2
=1

∴h1=h2
與h1>h2矛盾
假設(shè)錯(cuò)誤,所以直線PM與平面A′AB不平行
(II)(法一)連接BO,則BO⊥AC
∵A′A⊥平面ABC,∴平面A′ACC′⊥平面ABC
∵平面ABC∩平面A′ACC′=AC
∴BO⊥平面A′ACC′
在平面A′ACC′內(nèi)過O作A′C′的垂線,垂足為D,連接OD,則∠BDO為二面角B-A′C′-A的平面角
∴∠BDO=45°∴△BDO為等腰直角三角形,OD=
2

OA=OD=
2
且∠A′AO=∠A′DO=90°
∴Rt△A′AO≌Rt△A′DO∴A′D=2同理得C′D=h2
則由勾股定理可得(2-h2)2+(2
2
)
2
=(2+h2)2
∴h2=1
又直線OP與平面A′BP所成的角即直線OP與平面A′BC所成的角,設(shè)為α,設(shè)點(diǎn)O到平面A′BC的距離為ho
點(diǎn)P到平面ABC的距離為hp
sinα=
ho
OP
,hp =
2
3
  S△PBC=
1
3
SABC=
2
2
3
,S△OBC=1
由等體積法可得ho=
2
2

在平面A′ACC′內(nèi)可求得OP=
6
3
,∴sinα=
ho
OP
=
3
2

所以直線OP與平面A′BP所成的角為60°.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用反證法證明數(shù)學(xué)命題應(yīng)用,反證法的關(guān)鍵是要由假設(shè)進(jìn)行邏輯推理,從而得出矛盾,還考查了直線與平面所成的角的求解,解題中要注意利用等體積求解距離的方法的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•湛江二模)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,圓O經(jīng)過B、C且與AB、AC分別相交于D、E.若AE=EC=2
3
,則圓O的半徑r=
7
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖在Rt△ABC中,三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(1,0),C(-1,
2
2
)
,曲線E過C點(diǎn)且曲線E上任一點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|是定值.
(Ⅰ)求出曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線E與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為D、Q,是否存在斜率為k的直線l過定點(diǎn)(0,
2
)
與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N,且向量
OM
+
ON
DQ
共線.若存在,求出此直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,其內(nèi)切圓切AC與D點(diǎn),O為圓心.若|
AD
|=2|
CD
|=2,則
BO
AC
=
-3
-3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,Rt△ABC中,C=90°,A=30°,圓O經(jīng)過B、C且與AB、AC相交于D、E.若AE=EC=2
3
,則AD=
 
,圓O的半徑r=
 

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