已知在正四棱錐P-ABCD中（如圖），高為1cm，其體積為4cm3，求異面直線PA與CD所成角的大�。�

【答案】分析：連接AC、BD交于O點，連接PO．根據(jù)錐體體積公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可算出正四棱錐的底面邊長，從而用勾股定理算出PA長，然后在△PAB中，利用余弦定理計算出∠PAB的余弦值，因為CD∥AB，所以這個余弦值就是PA與CD所成角θ的余弦值，從而得到異面直線PA與CD所成角的大�。�
解答：解：連接AC、BD交于O點，連接PO，則PO就是正四棱錐的高
設(shè)異面直線PA與CD所成角的大小θ，底邊長為a，
則依題意得，正四棱錐P-ABCD體積為V=a2×1=4      …（4分）
∴a=2，可得AC=2
Rt△PAO中，OA=，PO=1
∴PA==        …（7分）
因為CD∥AB，所以直線PA與AB所成的銳角就是PA與CD所成角θ．     …（9分）
△PAB中，PA=PB=，AB=2，
∴cos∠PAB==，即cosθ=，
所以PA與CD所成角θ=arccos．        …（12分）
點評：本題給出一個正四面體，叫我們求異面直線所成角，著重考查了正棱錐的性質(zhì)、余弦定理和異面直線所成角的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；
（3）求出一個數(shù)學(xué)問題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．
例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側(cè)棱長為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積
16
3
后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為
16
3
，求側(cè)棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為
16
3
，求所有側(cè)面面積之和的最小值”．
現(xiàn)有正確命題：過點A(-
p
2
，0)的直線交拋物線C：y2=2px（p＞0）于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過焦點F．
試給出上述命題的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•上海一模）如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，且已知VP-ABCD=
163
．
（1）求球O的表面積；
（2）設(shè)M為BC中點，求異面直線AM與PC所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正四棱錐P-ABCD的四條側(cè)棱，底面四條邊及兩條對角線共10條線段，現(xiàn)有一只螞蟻沿著這10條線段從一個頂點爬行到另一個頂點，規(guī)定：（1）從一個頂點爬行到另一個頂點視為一次爬行；（2）從任一頂點向另4個頂點爬行是等可能的（若螞蟻爬行在底面對角線上時仍按原方向直行）．則螞蟻從頂點P開始爬行4次后恰好回到頂點P的概率是（　　）
A、
1
16
B、
9
16
C、
9
64
D、
13
64

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江西省景德鎮(zhèn)市高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知正四棱錐P—ABCD的四條側(cè)棱，底面四條邊及兩條對角線共10條線段，現(xiàn)有一只螞蟻沿著這10條線段從一個頂點爬行到另一個頂點，規(guī)定： (1)從一個頂點爬行到另一個頂點視為一次爬行；(2)從任一頂點向另4個頂點爬行是等可能的（若螞蟻爬行在底面對角線上時仍按原方向直行）. 則螞蟻從頂點P開始爬行4次后恰好回到頂點P的概率是(  )                                 

A．              B．              C．             D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，且已知數(shù)學(xué)公式．
（1）求球O的表面積；
（2）設(shè)M為BC中點，求異面直線AM與PC所成角的大�。�

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