Question

如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲．骨架將圓柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)．
(Ⅰ)當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米)；
(Ⅱ)在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點為端點，安裝一些霓虹燈．當燈籠底面半徑為0.3米時，求圖中兩根直線型霓虹燈A₁B₃、A₃B₅所在異面直線所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)圓柱的高為h，由題意可知，4(4r+2h)=9.6， 即2r+h=1.2， S=2πrh +πr2=πr(2.4-3r) =3π[-（r-0.4）2+0.16]，其中0＜r＜0.6， ∴當半徑r=0.4（米）時，Smax=0.48π≈1.51（平方米）。
(Ⅱ)當r=0.3時，由2r+h=1.2，解得圓柱的高h=0.6（米）． 如圖所示，以直線A3A7、A1A5及圓柱的軸為x、y，z軸， 建立空間直角坐標系， 則有A1(0，-0.3，0)，B3(0.3，0，0.6)， A3(0.3，0，0)，B5(0，0.3，0.6)， ， 異面直線A1B3、A3B5所成角α有 ， ∴兩根霓虹燈A1B3、A3B5所在異面直線所成角的大小為。