Question

若(

x

-

2

x

)n的展開式中第三項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n=

6

，展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理，易得(

x

-

2

x

)n的通項(xiàng)，由題意，第三項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則有r=2時(shí)，T₃為常數(shù)項(xiàng)，可得

n-6

2

=0，解可得n的值，進(jìn)而可得二項(xiàng)式為（

x

-

2

x

）⁶，令x=1可得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和．

解答：解：根據(jù)題意，(

x

-

2

x

)n的通項(xiàng)為T_r+1=C_n^r（

x

）^n-r•（-

2

x

）^r=（-1）^r•C_n^r（2）^r•（x

n-3r

2

）
由題意，第三項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則有r=2時(shí)，T₃=（-1）²•C_n²（2）²•（x

n-6

2

）=4C_n²•（x

n-6

2

），為常數(shù)項(xiàng)，
即

n-6

2

=0，解可得n=6；
則該二項(xiàng)式為（

x

-

2

x

）⁶，令x=1可得，可得（1-

2

1

）⁶=1，
則其展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為1．
故答案為：6；1．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解此類題目要注意區(qū)分展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和．