Question

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).
（�。┤糁本�垂直于軸，求的大小;
（ⅱ）若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）不存在，詳見解析

解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且.
由題意可知：，.            
所以.            
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.     
（2）由（1）得.設(shè).
（ⅰ）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為.
由 解得：或
即（不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方）.
則直線的斜率，直線的斜率.
因?yàn)?，
所以.
所以 .
（ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為.
由消去得：.
因?yàn)?點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，顯然.
               
因?yàn)?，，，
所以


.
所以 .
所以 為直角三角形.
假設(shè)存在直線使得為等腰三角形，則.

取的中點(diǎn)，連接，則.
記點(diǎn)為.
另一方面，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
所以 點(diǎn)的縱坐標(biāo).
所以
.
所以 與不垂直，矛盾.
所以 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，不存在直線使得為等腰三角形