Question

【題目】已知點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于2.

求拋物線的方程；

若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證直線恒過軸上的某定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線的定義，可知，代入即可求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可求解的值，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，代入拋物線的方程，由韋達(dá)定理得到

，再由，即，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得和的關(guān)系，代入直線方程，即可判定直線過定點(diǎn)．

試題解析：

（1）∵點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于2.

∴∴，∴拋物線的方程為

（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)與拋物線第一象限交于點(diǎn)，

∵，∴，代入整理得，解得，

∴故直線恒過定點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線

聯(lián)立得

依題意有，則韋達(dá)定理可知： ①

∵， ，∴，即

將①代入化簡(jiǎn)得，故，此時(shí)直線

直線恒過軸上的定點(diǎn).