已知函數(shù)f(x)=a-
22x+1
，其中a為常數(shù)．
（I）當a=1時，討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當a=3時，求函數(shù)f（x）的值域．
分析：（I）a=1時，f（x）=1-
2
2x+1
，可求得f（-x）+f（x）=0，從而可知函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義，設x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），整理后得f（x1）-f（x2）=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
，依題意，判斷符號即可知函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）a=3時，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域．
解答：解：（I）a=1時，f（x）=1-
2
2x+1
，函數(shù)的定義域為R．
又f（-x）+f（x）=（1-
2
2-x+1
+（1-
2
2x+1
）
=2-
2•2x
(2-x+1)•2x
-
2
2x+1

=2-
2(2x+1)
2x+1

=0，
∴a=1時，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）設x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=（a-
2
2x1+1
）-（a-
2
2x2+1
）=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
，
∵x1＜x2，
∴2x1-2x2＜0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（Ⅲ）a=3時，∵2x+1＞1，
∴0＜
2
2x+1
＜2，-2＜-
2
2x+1
＜0，
∴1＜3-
2
2x+1
＜3．
∴a=3時，函數(shù)f（x）的值域為（1，3）．
點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的綜合應用，著重考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與最值的綜合應用，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結論．

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