【題目】已知函數(shù).
(1)曲線在點處的切線方程為,求的值;
(2)若,時,,都有,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)對f(x)求導(dǎo)后利用-1,直接求解即可.
(2)先判斷若,時,f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),利用單調(diào)性及的大小去絕對值,得到,構(gòu)造函數(shù)在x∈時是增函數(shù).可得,即在x∈時恒成立.再構(gòu)造g(x)=利用導(dǎo)數(shù)分析其最值,即可得出實數(shù)a的取值范圍.
(1)∵=,∴-2b=-1,,
∴b=,a=1.
(2)若,時,,在x上恒成立,
∴f(x)在區(qū)間上是減函數(shù).
不妨設(shè)1<x1<x2<e,則,
則等價于.
即,
即函數(shù)在x∈時是增函數(shù).
∴,即在x∈時恒成立.令g(x)=,則,令,則=-=<0在x∈時恒成立,
∴在x∈時是減函數(shù),且x=e時,y=>0,∴y>0在x∈時恒成立,即在x∈時恒成立, ∴ g(x) 在x∈時是增函數(shù),∴g(x)<g(e)=e-3
∴.
所以,實數(shù)a的取值范圍是.
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【題目】“中國人均讀書4.3本(包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書),比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多,是世界上人均讀書最少的國家.”這個論斷被各種媒體反復(fù)引用,出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計結(jié)果無疑是令人尷尬的,而且和其他國家相比,我國國民的閱讀量如此之低,也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣,特舉辦讀書活動,準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站,由于不同年齡段需看不同類型的書籍,為了合理配備資源,現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查,隨機抽取了一天40名讀書者進行調(diào)查,將他們的年齡分成6段: , , , , , 后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
問:
(1)估計在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù);
(2)求40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù);
(3)若從年齡在的讀書者中任取2名,求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】①一個命題的逆命題為真,它的否命題也一定為真;
②在中,“”是“三個角成等差數(shù)列”的充要條件.
③是的充要條件;
④命題“不等式x2+x-6>0的解為x<-3或x>2”的逆否命題是“若-3≤x≤2,則x2+x-6≤0”
以上說法中,判斷錯誤的有___________.
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【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,然后縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,得到的圖象,下面四個結(jié)論正確的是( )
A. 函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)
B. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱
C. 點是函數(shù)圖象的一個對稱中心
D. 函數(shù)在上的最大值為
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【題目】四棱錐中,底面是邊長為的菱形,,是等邊三角形,為的中點,.
(1)求證:;
(2)若在線段上,且,能否在棱上找到一點,使平面平面?若存在,求四面體的體積.
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【題目】設(shè).
(1)若,且是實系數(shù)一元二次方程的一根,求和的值;
(2)若是純虛數(shù),已知時,取得最大值,求;
(3)肖同學(xué)和謝同學(xué)同時獨立地解答第(2)小題,己知兩人能正確解答該題的概率分別是0.8和0.9,求該題能被正確解答的概率.
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【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有正確結(jié)論的序號是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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【題目】2018年11月15日,我市召開全市創(chuàng)建全國文明城市動員大會,會議向全市人民發(fā)出動員令,吹響了集結(jié)號.為了了解哪些人更關(guān)注此活動,某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15~75歲之間的100人進行調(diào)查,并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示,其分組區(qū)間為:,,,,,.把年齡落在和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”,經(jīng)統(tǒng)計“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)之比為.
(1)求圖中的值,若以每個小區(qū)間的中點值代替該區(qū)間的平均值,估計這100人年齡的平均值;
(2)若“青少年人”中有15人關(guān)注此活動,根據(jù)已知條件完成題中的列聯(lián)表,根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果,問能否有的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注此活動?
關(guān)注 | 不關(guān)注 | 合計 | |
青少年人 | 15 | ||
中老年人 | |||
合計 | 50 | 50 | 100 |
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
附參考公式:,其中.
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【題目】如圖,正四面體的頂點、、分別在兩兩垂直的三條射線, , 上,則在下列命題中,錯誤的是( )
A. 是正三棱錐
B. 直線與平面相交
C. 直線與平面所成的角的正弦值為
D. 異面直線和所成角是
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