Question

已知橢圓=1（a＞b＞0），，c為半焦距．過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程．
（2）（理）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
（文）若直線y=x+k（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使OC⊥OD（O為原點）？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab=0．依題意解得 ，由此能求出橢圓方程．
（2）假若存在這樣的k值，由得（1+3k²）x²+12kx+9=0．△=（12k）²-36（1+3k²）＞0．設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則，由此入手能夠求出存在，使得以CD為直徑的圓過點E．
（文科）假若存在這樣的k值，由得4x²+6kx+3k²-3=0．△=（6k）²-4×4（3k²-3）＞0．設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則．由此入手，能夠求出存在，使得OC⊥OD．
解答：解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab=0．
依題意解得
∴橢圓方程為 ．
（2）（理科）假若存在這樣的k值，由得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0． ①
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則②
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0． ③
將②式代入③整理解得．經驗證，，使①成立．
綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E．
（文科）假若存在這樣的k值，由得4x²+6kx+3k²-3=0．
∴△=（6k）²-4×4（3k²-3）＞0．          ①
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則②
而y₁•y₂=（x₁+k）（x₂+k）=x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²．
由OC⊥OD知，即 x₁x₂+y₁y₂=0．
∴2x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²=0． ③
將②式代入③整理解得．經驗證使①成立．
綜上可知，存在，使得OC⊥OD．
點評：本題考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．