Question

設(shè)，證明：
(Ⅰ)當(dāng)x﹥1時(shí)， ﹤ （ ）；
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，。

Answer 1

見解析

(Ⅰ)證法一：記，
則當(dāng)x>1時(shí)，.
又有, 即
證法二：由均值不等式，當(dāng)x>1時(shí)，，故 ①
令，則，.
故，即   ②
由①②得，當(dāng)x>1時(shí)，.
(Ⅱ)（證法一）
記，
由(Ⅰ)得

令，
則當(dāng)1<x<3時(shí)，
因此在（1,3）內(nèi)是遞減函數(shù)，
又由，得，
所以
因此在（1,3）內(nèi)是遞減函數(shù)，
又由，得.
于是，當(dāng)1<x<3時(shí)，
（證法二）：
記
則當(dāng)1<x<3時(shí)，由(Ⅰ)得




因此在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減
又，所以即.
考點(diǎn)定位：本大題考查導(dǎo)數(shù)題目中較為常規(guī)的類型題目，考查的切線，單調(diào)性，以及最值問題都是課本中要求的重點(diǎn)內(nèi)容，考查構(gòu)造函數(shù)用求導(dǎo)的方法求最值的能力