已知函數(shù),.

(1)求曲線f(x)在點(diǎn)A處的切線方程;

(II)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(III)是否存在實(shí)數(shù),使當(dāng)時(shí)恒成立?若存在,求 出實(shí)數(shù)a;若不存在,請(qǐng)說明理由

 

【答案】

(Ⅰ)∵ a>0,

=,               …… 2分

于是,,所以曲線y = f(x)在點(diǎn)A(0,f(0))處的切線方程為,即(a-2)x-ay + 1 = 0.                ……… 4分

(Ⅱ)∵ a>0,eax>0,∴ 只需討論的符號(hào).   ………… 5分

。┊(dāng)a>2時(shí),>0,這時(shí)f ′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù).

ⅱ)當(dāng)a = 2時(shí),f ′(x)= 2x2e2x≥0,函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù).…6分

ⅲ)當(dāng)0<a<2時(shí),令f ′(x)= 0,解得,

當(dāng)x變化時(shí), f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

x

f '(x)

+

0

0

+

f(x)

極大值

極小值

∴f(x)在,,為增函數(shù),f(x)在為減函數(shù).    …… 9分

(Ⅲ)當(dāng)a∈(1,2)時(shí),∈(0,1).由(Ⅱ)知f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),,……10分

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)恒成立,等價(jià)于恒成立.……11分

當(dāng)a∈(1,2)時(shí),,設(shè),則,表明g(t) 在(0,1)上單調(diào)遞減,于是可得,即a∈(1,2)時(shí)恒成立,……13分   符合條件的實(shí)數(shù)a不存在.

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x2
+
x2-1
的定義域是(  )
A、[-1,1]
B、{-1,1}
C、(-1,1)
D、(-∞,-1]∪[1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
(1-b)x+b,x<0
(b-3)x2+2,x≥0
,在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)b的范圍為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1-
a
x
,g(x)=
lnx
x
,且函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+y+3=0垂直.
(I)求a的值;
(II)如果當(dāng)x∈(0,1)時(shí),t•g(x)≤f(x)恒成立,求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
x+1
的定義域?yàn)榧螦,集合B=(-2,+∞),則集合(CRA)∩B=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

請(qǐng)考生注意:重點(diǎn)高中學(xué)生做(2)(3).一般高中學(xué)生只做(1)(2).
已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-
a
x
-1(a∈R)

(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)a=
3
4
時(shí),設(shè)g(x)=x2-bx+1,若對(duì)任意x1∈(0,2],都存在x2∈(0,2],都存在x2∈[1,2]使f(x1)≤g(x2),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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