【題目】已知是自然數(shù)1,2,…,的一個(gè)排列,且滿足:對(duì)任意,均有.
(1)若記為數(shù)在排列中所處位置的序號(hào)(如排列中,,,,).求證:對(duì)每一個(gè)滿足題意的排列,均有成立.
(2)試求滿足題意的排列的個(gè)數(shù).
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)證法一:假設(shè)結(jié)論不成立,則必存在,,使.
不妨設(shè),,.
首先證明:對(duì)任意整數(shù),有.
若不然,設(shè)中有小于的,設(shè)為使的最小值,
則由的最小性知,.
故由.得.
∴.
又因,故.
∴.矛盾.
故對(duì)任意,.
∵是各不相同的自然數(shù),
∴
∴
另一方面,,
∴.
于是,,即,
∴.
這與前面矛盾.故結(jié)論成立.
證法二:用數(shù)學(xué)歸納法證明更強(qiáng)的命題:
對(duì)任意,.
、2時(shí),易知命題成立.
設(shè)時(shí),命題也成立.
則時(shí),考慮所有的排列,我們從兩方面求和.
一方面,,
∴.
另一方面,,
∴.
故,且.
因而,,,…,,
即當(dāng)時(shí),,,.
而后個(gè)數(shù)的排列,為滿足要求的連續(xù)個(gè)數(shù)的排列,
由歸納假設(shè)知,時(shí),也有.
又易知.這樣的排列僅有一個(gè),即,同樣也有.
故由數(shù)學(xué)歸納法知命題成立.
(2)顯然,.假設(shè),…,均已求出,我們來求.
考慮當(dāng)時(shí)排列的個(gè)數(shù).
由(1)證法二知,此時(shí)排列的前個(gè)數(shù)是惟一確定的,
而后個(gè)連續(xù)自然數(shù)的滿足題意的排列方法數(shù)為.
又對(duì)后數(shù)的任一滿足題意的排列,均有,
故.
又,故.
而,
∴.
故滿足題意的排列個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn),分別在拋物線和圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且總是平行于軸,則周長(zhǎng)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,已知橢圓:的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓:,設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的最小值,并求此時(shí)圓的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),且直線分別與軸交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),
求證:為定值.
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【題目】凸邊形玫瑰園的個(gè)頂點(diǎn)各栽有1棵紅玫瑰,每?jī)煽眉t玫瑰之間都有一條直小路想通,這些直小路沒有出現(xiàn)“三線共點(diǎn)”的情況——它們把花園分割成許多不重疊的區(qū)域(三角形、四邊形、……),每塊區(qū)域都栽有一棵白玫瑰(或黑玫瑰).
(1)求出玫瑰園里玫瑰總棵樹的表達(dá)式.
(2)花園里能否恰有99棵玫瑰?說明理由.
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【題目】(2017·全國卷Ⅲ文,18)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.
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【題目】已知函數(shù),,其中.
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若對(duì)任意的(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有≥成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,側(cè)面底面,,,為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】一個(gè)圓周上有9個(gè)點(diǎn),以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作3個(gè)三角形.當(dāng)這3個(gè)三角形無公共頂點(diǎn)且邊互不相交時(shí),我們把它稱為一種構(gòu)圖.滿足這樣條件的構(gòu)圖共有( )種.
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
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【題目】王府井百貨分店今年春節(jié)期間,消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開展,參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來越多,該分店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前7天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì), 表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù),得到統(tǒng)計(jì)表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(3)若該活動(dòng)只持續(xù)10天,估計(jì)共有多少名顧客參加抽獎(jiǎng).
參與公式: , , .
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