Question

【題目】數(shù)列{an}滿足Sn=2n﹣an（n∈N*）． （Ⅰ）計(jì)算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=2﹣a1 ， 所以a1=1． 當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=s2=2×2﹣a2 ， 所以 ．
同理： ， ．
由此猜想
（Ⅱ）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊a1=1，右邊=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N*）時(shí)，結(jié)論成立，即 ，
那么n=k+1時(shí)，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1 ，
所以2ak+1=2+ak ， 所以 ，
這表明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②知對(duì)一切n∈N*猜想 成立
【解析】（Ⅰ）通過(guò)n=1，2，3，4，直接計(jì)算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項(xiàng)公式 ；（Ⅱ）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明．檢驗(yàn)n取第一個(gè)值時(shí)，等式成立，假設(shè) ，證明．