Question

【題目】設數(shù)列的前項和為，若，則稱是“緊密數(shù)列”.

（1）若數(shù)列是“緊密數(shù)列”，且，，，，求的取值范圍；

（2）若為等差數(shù)列，首項，公差，且，判斷是否為“緊密數(shù)列”，并說明理由；

（3）設數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）是“緊密數(shù)列”，詳見解析（3）

【解析】

(1)由 ，可求出的取值范圍;

(2)由,所以

,根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義即可得到結論;

(3)根據(jù)”是緊密函數(shù)”可得,再對分 三種情況套,結合“緊密數(shù)列”的定義可得.

（1）由題意得：，，解得.

所以的取值范圍是.

（2）由題意得,所以

,

因為隨著的增大而減小,所以時,取得最大值,所以 ,

所以是“緊密數(shù)列”.

（3）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，

因為是“緊密數(shù)列”，所以.

①當時，，，因為，所以時，數(shù)列為“緊密數(shù)列”，故滿足題意.

②當時，，則，因為數(shù)列為“緊密數(shù)列”，

所以，對任意恒成立.

（i）當時，，

即，對任意恒成立.

因為,所以，，，

所以，，

所以，當時，，對任意恒成立.

（ii）當時，，即，對任意恒成立.

所以當時,有成立,即,所以 且,

所以,這與相矛盾,此時不存在.

綜上所述，的取值范圍是.