Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

x2-(2+2a)x+b（a∈R ）
（Ⅰ） 若y=f（x） 在點P（1，f（1））處的切線方程為y=

1

2

，求y=f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ） 若y=f（x） 在[-2，0]上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)y=f（x） 在點P（1，f（1））處的切線方程為y=

1

2

，建立方程組

f′(1)=0 f(1)= 1 2

，解之即可求出a、b的值，再解不等式f'（x）＜0，可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（II）欲式y(tǒng)=f（x） 在[-2，0]上存在極值點，只需y=f'（x）在[-2，0]上存在零點且在零點兩側(cè)y=f'（x）值異號，討論a=0與a≠0兩種情形，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等關(guān)系，解之即可．

解答：解：f'（x）=ax²+x-（2+2a） 
（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=0 f(1)= 1 2

⇒

a=-1 b= 1 3

 此時f'（x）=-x²+x，--------（4分）
由f'（x）=-x²+x＜0 得y=f（x） 的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）；----（7分）
（Ⅱ）由已知可得y=f'（x）在[-2，0]上存在零點且在零點兩側(cè)y=f'（x）值異號
（1）a=0 時，f'（x）=0⇒x=2∉[-2，0]，不滿足條件；
（2）a≠0 時，可得x2+

1

a

x-(

2

a

+2)=0在[-2，0]上有解且△＞0 
設(shè)g(x)=x2+

1

a

x-(

2

a

+2) 
①當(dāng)g（-2）g（0）≤0 時，滿足g（x）=0在[-2，0]上有解⇒(4-

2

a

-

2

a

-2)(-

2

a

-2)≤0⇒a≥2 
或a≤-1 此時滿足△＞0 
②當(dāng)g（-2）g（0）＞0時，即g（x）=0 
在[-2，0]上有兩個不同的實根
則

g(-2)＞0 g(0)＞0 -2＜- 1 2a ＜0 △＞0

⇒ a 無解
綜上可得實數(shù)a的取值范圍為（-∞-1]∪[2，+∞）．--------（15分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及函數(shù)在某點取得極值的條件，同時考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．