給出下列命題:①若復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=x-
1
2
i 所對應(yīng)的點都在單位圓x2+y2=1內(nèi),則實數(shù)x的取值范圍是-
3
2
<x<
3
2
;②在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|+|z+i|=4,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓;③若z3=1,則復(fù)數(shù)z一定等于1;④若(x2-1)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),則實數(shù)x=±1,其中,正確命題的序號是
 
分析:①根據(jù)若復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=x-
1
2
i 所對應(yīng)的點都在單位圓x2+y2=1內(nèi),得到x2+
1
4
<1,解不等式得到實數(shù)x的取值范圍是-
3
2
<x<
3
2
知本題正確;②在復(fù)平面內(nèi),z到兩個定點的距離之和是一個定值,根據(jù)橢圓的定義知z軌跡是焦點在虛軸上的橢圓;
③若z3=1,則復(fù)數(shù)z一定等于1,得到z=1,或z=-
1
2
±
3
2
i
④要滿足x2-1=0,x2+3x+2≠0,而當(dāng)x=-1時,x2+3x+2=0
解答:解:①∵若復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=x-
1
2
i 所對應(yīng)的點都在單位圓x2+y2=1內(nèi),
x2+
1
4
<1,
x2
3
4

∴實數(shù)x的取值范圍是-
3
2
<x<
3
2

∴①正確;
②在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|+|z+i|=4,
由復(fù)數(shù)的幾何意義知,z到兩個定點的距離之和是一個定值4
且4<2
∴z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓;
∴②正確;
③若z3=1,則復(fù)數(shù)z一定等于1
當(dāng)復(fù)數(shù)z是一個實數(shù)時,z=1,
當(dāng)復(fù)數(shù)z是一個虛數(shù)時,z=-
1
2
±
3
2
i

∴③不正確;
④若(x2-1)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),
要滿足x2-1=0,x2+3x+2≠0
而當(dāng)x=-1時,x2+3x+2=0
∴④不正確.
故答案為:①②
點評:本題是一個對于復(fù)數(shù)運算的綜合題,包括復(fù)數(shù)的各種運算和性質(zhì),而復(fù)數(shù)的加減乘除運算是比較簡單的問題,在高考時有時會出現(xiàn),若出現(xiàn)則是要我們一定要得分的題目.
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1i
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