Question

一個等差派生數列的單調性各項都為正數且公差不為零的等差數列a₁，a₂，a₃，…，a_n，把離首末兩項“距離”相等的兩項之積排成數列，則該數列是

[　　]

A．

遞減數列

B．

遞增數列

C．

奇數項遞增、偶數項遞減的數列

D．

先增后減的數列

Answer 1

答案：D
解析：

取滿足已知條件的數列1，2，3，4，5，6．則按題目要求得到派生數列6，10，12，12，10，6．(*) 　　根據數列(*)特點便可排除A、B、C．那么選項D正確嗎？數列(*)是先增后減的數列，遞增遞減也是有規(guī)律的．我們會想：對滿足條件的任意等差數列是否都有此結論呢？我們研究下面的命題： 　　a1，a2，a3，…，an(n≥3)是公差不為零的等差數列，a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1是一個先增后減的數列，并且中間項最大． 　　設等差數列{an}的公差為d，記數列a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1的第k項為bk，則bk＝akan－k+1(k∈N*)， 　　∴bk+1－bk＝ak+1an－k－akan－k+1 　　＝(ak＋d)(an－k＋1－d)－akan－k+1 　�。�(an－k+1－ak)d－d2． 　�、偃鬾為奇數，當k＜時，bk+1＞bk；當k＞時，bk+1＜bk． 　　∴b1＜b2＜…＜＜＞＞…＞bn． 　　∴{bn}是一個先增后減的數列，并且中間項最大． 　�、偃鬾為偶數，當k＜時，bk+1＞bk；當k＝時，bk+1＝bk；當k＞時，bk+1＜bk． 　　∴b1＜b2＜…＜＝＞＋2＞…＞bn． 　　∴{bn}是一個先增后減的數列，并且中間兩項相等且最大，都等于． 　　綜上證明知，a1an，a2an－1，…，an－1a2，ana1是一個先增后減的數列，并且中間項最大．故選D．