Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （x∈R）
（1）用定義證明f（x）是增函數(shù)；
（2）若g（x）=f（x）﹣a是奇函數(shù)，求g（x）在（﹣∞，a]上的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）=2+ ，

設(shè)x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=2× ＜0，

∴f（x）是增函數(shù)

（2）解：∵g（x）=f（x）﹣a是奇函數(shù)，

∴g（0）=f（0）﹣a=3﹣a=0，

∴a=3，

∴g（x）= ﹣1，

∵x≤3，∴0＜ ≤

∴﹣1＜g（x）≤

【解析】（1）利用定義證明步驟，即可證明f（x）是增函數(shù)；（2）利用g（x）=f（x）﹣a是奇函數(shù)，求出a，即可求g（x）在（﹣∞，a]上的取值集合．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用奇偶性與單調(diào)性的綜合，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性即可以解答此題．