Question

（2012•湖南模擬）已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，且滿足f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，則a_n為   （　�。�

• A．2^n-1
• B．n
• C．2n-1
• D．(

  3

  2

  )n-1

Answer 1

分析：根據(jù)已知中對(duì)任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且數(shù)列{a_n}滿足f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，可得數(shù)列{a_n}是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：∵對(duì)任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，
∴f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴s_n+2=3a_n…①
當(dāng)n=1時(shí)，s₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
當(dāng)n≥2時(shí)，s_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an-1

=

3

2

∴數(shù)列{a_n}是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以

3

2

為公比的等比數(shù)列
∴a_n=(

3

2

)n-1
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題以抽象函數(shù)為載體考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，其中根據(jù)已知得到f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）是解答的關(guān)鍵．