Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在直線l：x=-1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B與l垂直的直線和線段AB的垂直平分線相交于點(diǎn)M．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）過（1）中的軌跡E上的定點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀＞0）作兩條直線分別與軌跡E相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）兩點(diǎn)．試探究：當(dāng)直線PC，PD的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線CD的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)M的軌跡為拋物線，根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，則可得拋物線方程；
（2）設(shè)出PC，PD的方程，代入拋物線方程，求出C，D的縱坐標(biāo)，表示出直線CD的斜率，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以A（1，0）為焦點(diǎn)，直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
所以其方程為y²=2x；
（2）由題意，設(shè)PC：x=my+b，代入（x₀，y₀），可得b=x₀-my₀，所以x=my+x₀-my₀，代入y²=2x，可得y²=2（my+x₀-my₀），即y²-2my-2x₀+2my₀=0，
∴y₀+y₁=2m，∴y₁=2m-y₀，
同理，設(shè)PD：x=-my+n，代入（x₀，y₀），可得n=x₀+my₀，所以x=-my+x₀+my₀，代入y²=2x，可得y²=2（-my+x₀+my₀），即y²+2my-2x₀-2my₀=0，
∴y₀+y₂=2m，∴y₂=-2m-y₀，
又k_CD=

y2-y1

x2-x1

=

2

y1+y2

=

2

2m-y0-2m-y0

=-

1

y0

，∴直線CD的斜率是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確設(shè)出直線的方程是關(guān)鍵．