Question

已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，開口向左，且拋物線上一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)的最小距離為

1

4

，拋物E與直ly=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線E的方程；
（2）當(dāng)△OAB的面積等

10

時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)：拋物線方程為y²=-2px，其拋物線上一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)的最小距離為

1

4

，可得

p

2

=

1

4

，進(jìn)而得到p，從而得出拋物線E的方程．
（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程得ky²+y-k=0，再結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式，結(jié)合△OAB的面積列出方程，可得k的值．

解答：解：（1）由題意得

p

2

=

1

4

，∴p=

1

2

，∴拋物線E的方程y²=-x；
（2）由方程組

y2=-x y=k(x+1)

消去x后，得ky²+y-k=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有y₁+y₂=-

1

k

，y₁y₂=-1，
∴|AB|=

1+ 1 k2

•

1 k2 +4

，h=d=

|k|

1+k2

，
∴S=

1

2

1 k2 +4

=

10

，
∴k=±

1

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．