Question

已知雙曲線的方程是16x²-9y²=144．
（1）求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；
（2）設(shè)F₁和F₂是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大�。�

Answer 1

分析：（1）向?qū)㈦p曲線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到a，b，c的值，即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；
（2）先根據(jù)雙曲線的定義得到||PF₁|-|PF₂||=6，再由余弦定理得到cos∠F₁PF₂的值，進(jìn)而可得到∠F₁PF₂的大小．

解答：解：（1）由16x²-9y²=144得

x2

9

-

y2

16

=1，
∴a=3，b=4，c=5．焦點(diǎn)坐標(biāo)F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），離心率e=

5

3

，漸近線方程為y=±

4

3

x．
（2）||PF₁|-|PF₂||=6，
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

36+64-100

64

=0．
∴∠F₁PF₂=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)和余弦定理的應(yīng)用，考查基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．