【題目】如圖，在各棱長均相等的三棱柱中，設(shè)是的中點，直線與棱的延長線交于點.

（1）求證:直線平面；

（2）若底面，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，由中位線定理可得，即可由線面平行的判定定理證明平面；

（2）設(shè)的中點為，連接，可證明，則以A為原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，求得平面和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積定義可求得兩個平面夾角的余弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得二面角的正弦值.

（1）證明：連接交于點，連接，如下圖所示：

∵且，

∴.

由已知條件得，

∴.

又∵平面，且平面，

∴直線平面.

（2）設(shè)的中點為，連接，

由已知得.

又∵且，

∴.

結(jié)合，得.

故.

由題意以A為原點，建立空間直角坐標系，如下圖所示：

設(shè)，則，，，.

∴，，.

由，得平面的一個法向量為，

由，得平面的一個法向量為.

于是.

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可知

故二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（）.

（1）寫出曲線的直角坐標方程與曲線的普通方程；

（2）若射線（）與曲線，分別交于，兩點（不是原點），求的最大值.

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【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸)中，圓的極坐標方程為。

（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；

（2）設(shè)圓與直線交于，兩點，若點的坐標為，求。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

極坐標系的極點為直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，已知曲線的極坐標方程為.

（1）求的直角坐標方程；

（2）直線（為參數(shù)）與曲線交于兩點，與軸交于，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.在以為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系（兩種坐標系的單位長度相同）中，曲線：的焦點的極坐標為.

（1）求常數(shù)的值；

（2）設(shè)與交于、兩點，且，求的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的極坐標方程；

（2）將曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的倍，得到曲線，若與的交點為（異于坐標原點），與的交點為，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】知函數(shù)，，與在交點處的切線相互垂直.

(1)求的解析式；

(2)已知,若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點為極點，以軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（為常數(shù)，且），直線與曲線交于兩點.

（1）若，求實數(shù)的值；

（2）若點的直角坐標為，且，求實數(shù)的取值范圍.

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