【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2) 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) ,且,證明: .

【答案】(1)當(dāng)時(shí),知上遞減;當(dāng)時(shí), 上遞減,在上遞增;(2)證明見解析.

【解析】試題分析:

1由函數(shù)的解析式了的 ,分類討論有:當(dāng)時(shí),知上遞減;當(dāng)時(shí), 上遞減,在上遞增;

2)由(1)知, , , ,原問題等價(jià)于,結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為即可,而, ,構(gòu)造函數(shù),令, ,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得,即,則結(jié)論得證.

試題解析:

1 ,

當(dāng)時(shí), ,知上是遞減的;

當(dāng)時(shí), ,知上是遞減的,在上遞增的.

2)由(1)知, , ,

依題意,即,

得, , ,

得, ,即,

欲證,只要,

注意到上是遞減的,且,

只要證明即可,

,

所以

, ,

, ,

,知上是遞增的,于是,即,

綜上, .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)已知函數(shù),且,若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

)求直方圖中a的值;

)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;

)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本題滿分15分)如圖,在半徑為的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD,其中點(diǎn)A、B在直徑上,點(diǎn)C、D在圓周上,將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),記圓柱形罐子的體積為

(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:

設(shè),將表示為的函數(shù);

設(shè)),將表示為的函數(shù);

(2)請(qǐng)選用(1)問中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求圓柱形罐子的最大體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】針對(duì)國(guó)家提出的延遲退休方案,某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查,所有參與調(diào)查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:

支持

保留

不支持

歲以下

歲以上(含歲)

(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取個(gè)人,已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了人,求的值;

(2)在持“不支持”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取人看成一個(gè)總體,從這人中任意選取人,求歲以下人數(shù)的分布列和期望;

(3)在接受調(diào)查的人中,有人給這項(xiàng)活動(dòng)打出的分?jǐn)?shù)如下: , , , , , , ,把這個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下表提供了工廠技術(shù)改造后某種型號(hào)設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)y(萬元)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):

x(年)

2

3

4

5

6

y(萬元)

1

2.5

3

4

4.5

1)若知道y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

2)已知該工廠技術(shù)改造前該型號(hào)設(shè)備使用10年的維修費(fèi)用為9萬元,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)該型號(hào)設(shè)備技術(shù)改造后,使用10年的維修費(fèi)用能否比技術(shù)改造前降低?參考公式:,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù), R.

1證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)是減函數(shù);

2根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;

3當(dāng),且時(shí),證明:對(duì)任意,存在唯一的R,使得.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且,。

1求橢圓的離心率;

2設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,直線上有一點(diǎn) 的外接圓上,求的值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2016年1月1日,我國(guó)全面實(shí)行二孩政策,某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了街頭調(diào)查,在所有參與調(diào)查的青年男女中,持“響應(yīng)”“猶豫”和“不響應(yīng)”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:

響應(yīng)

猶豫

不響應(yīng)

男性青年

500

300

200

女性青年

300

200

300

根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為猶豫與否與性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由.

猶豫

不猶豫

總計(jì)

男性青年

女性青年

總計(jì)

1800

參考公式:

參考數(shù)據(jù):

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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