Question

雙曲線C與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1有相同的焦點，直線y=

3

3

x為C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知點M（0，1），設(shè)P是雙曲線C上的點，Q是點P關(guān)于原點的對稱點，求

MP

•

MQ

的范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，由橢圓方程可得c=2，由條漸近線可得

b

a

=

3

3

，結(jié)合a²=b²+c²可得ab的值，可得方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），可得

MP

與

MQ

的坐標，可得

MP

•

MQ

結(jié)合

x02

3

-y02=1可得關(guān)于x₀的二次函數(shù)，由x₀的范圍可得．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1  （a＞0，b＞0），
由橢圓

x2

8

+

y2

4

=1，求得兩焦點（-2，0），（2，0），
∴對雙曲線C，c=2，
又直線y=

3

3

x為C的一條漸近線，
∴

b

a

=

3

3

，
結(jié)合a²=b²+c²，
解得：a²=3，b²=1
∴雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），
∴

MP

=（x₀，y₀-1），

MQ

=（-x₀，-y₀-1）
∴

MP

•

MQ

=-x02-y02+1，
又

x02

3

-y02=1，
∴

MP

•

MQ

=-x02-

x02

3

+2=-

4x02

3

+2，
又|x₀|≥

3

，∴x02≥3
∴

MP

•

MQ

=-

4x02

3

+2≤-4+2=-2
∴

MP

•

MQ

的范圍是（-∞，-2]

點評：本題考查雙曲線的標準方程，涉及向量數(shù)量積的運算，屬中檔題．