已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c，則下列條件中能推出△ABC為銳角三角形的條件是
④
④
．（把正確答案的序號都寫在橫線上）
①sinA+cosA=
1
5
②
AB
•
BC
＜0
③b=3，c=3
3
，B=30°④tanA+tanB+tanC＞0．
分析：①對sinA+cosA=
1
5
，兩邊同時平方可得整理可得，sinAcosA=-
12
25
 則有
π
2
＜A＜π
②
AB
•
BC
＜0⇒B為銳角，但不能肯定△ABC為銳角三角形；③由正弦定理可得
3
sin 30°
=
3
3
sinC
⇒sinC=
3
2
 結(jié)合c＞b 可得C＞B=30°從而可得，當(dāng)C=60°時A=90° 當(dāng) C=120°時，A=30°④由題意可得A，B，C不能為直角，鈍角最多一個，故可設(shè)設(shè)A，B均為銳角，由tanA+tanB+tanC＞0，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及兩角和的正切公式，tanA+tanB＞tan（A+B）⇒
tanAtanB
1-tanAtanB
＜0⇒tanAtanB＞1
⇒tanA＞cotB=tan（
π
2
-B）⇒A＞
π
2
-B⇒A+B＞
π
2
，C＜
π
2
解答：解：①sinA+cosA=
1
5
，⇒1+2sinAcosA=
1
25
，sinAcosA=-
12
25
 所以
π
2
＜A＜π①不能推出
②
AB
•
BC
＜0⇒B為銳角，但不能肯定△ABC為銳角三角形
③由正弦定理可得
3
sin 30°
=
3
3
sinC
⇒sinC=
3
2
∵c＞b∴C＞B=30°
當(dāng)C=60°時A=90° 當(dāng) C=120°時，A=30°③不能推出
④由題意可得A，B，C不能為直角，故可設(shè)設(shè)A，B均為銳角
tanA+tanB+tanC＞0⇒tanA+tanB＞tan（A+B）⇒
tanAtanB
1-tanAtanB
＜0⇒tanAtanB＞1
⇒tanA＞cotB=tan（
π
2
-B）⇒A＞
π
2
-B⇒A+B＞
π
2
，C＜
π
2
 ④為銳角三角形
故答案為：④
點評：本題以三角形的判斷為平臺，綜合考查了同角平方關(guān)系，向量的夾角的概念，正弦定理及大邊對大角，兩角和的正切公式、三角形的內(nèi)角和定理、正切函數(shù)的單調(diào)性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB邊上的高所在的直線方程；
（2）直線l∥AB，與AC，BC依次交于E，F(xiàn)，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，則邊長c=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)滿足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面積S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案