Question

【題目】如圖在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1=90°，BB1∥CC1 ， CC1=B1C1=2BB1=2，D是CC1的中點．四邊形AA1C1C可以通過直角梯形BB1C1C以CC1為軸旋轉得到，且二面角B1﹣CC1﹣A為120°．
（1）若點E是線段A1B1上的動點，求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，連接B1D，DA1．

由已知可得： ，

∴四邊形B1BDC是平行四邊形，∴B1D∥BC，

而BC平面ABC，B1D平面ABC；

∴B1D∥平面ABC．

同理可得：DA1∥平面ABC．又A1D∩DB1=D，

∴平面B1DA1∥平面ABC；DE平面B1DA1；

∴DE∥平面ABC．

（2）解：作C1M⊥C1B1交A1B1于點M，分別以C1M，C1B1，C1C為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．

則C1（0，0，0），A1（ ，﹣1，0），B（0，2，1），C（0，0，2），A（ ，﹣1，1），

=（ ，﹣1，﹣1）， =（0，2，﹣1）， =（0，0，2）．

設平面ABC的法向量為 =（x1，y1，z1），則 ，即 ，取 =（ ，1，2）．

設平面A1ACC1ABC的法向量為 =（x2，y2，z2），則 ，即 ，取 =（1， ，0）．

∴ = = = ．

∴二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是 ．

【解析】（1）如圖所示，連接B1D，DA1 ． 由已知可得四邊形B1BDC是平行四邊形，B1D∥BC，可得B1D∥平面ABC．同理可得：DA1∥平面ABC．可得平面B1DA1∥平面ABC；即可證明DE∥平面ABC．（2）作C1M⊥C1B1交A1B1于點M，分別以C1M，C1B1 ， C1C為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．設平面ABC的法向量為 =（x1 ， y1 ， z1），則 ，可得 ．設平面A1ACC1ABC的法向量為 =（x2 ， y2 ， z2），則 ，可得 ．利用 = 即可得出．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．