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【題目】已知函數f(x)的定義域為[﹣1,5],部分對應值如表,f(x)的導函數y=f′(x)的圖象如圖所示,

x

﹣1

0

2

4

5

f(x)

1

2

1.5

2

1

下列關于函數f(x)的命題:
①函數f(x)的值域為[1,2];
②如果當x∈[﹣1,t]時,f(x)的最大值為2,那么t的最大值為4;
③函數f(x)在[0,2]上是減函數;
④當1<a<2時,函數y=f(x)﹣a最多有4個零點.
其中正確命題的序號是

【答案】①③④
【解析】解:∵由導函數的圖象知,f(x)在[﹣1,0)遞增,在(0,2)遞減,在(2,4)遞增,在(4,5]遞減,
結合圖象函數的最小值是1,最大值是2,故函數f(x)的值域為[1,2],①正確;
由已知中y=f′(x)的圖象,及表中數據可得當x=0或x=4時,函數取最大值2,若x∈[﹣1,t]時,f(x)的最大值是2,那么0≤t≤5,故t的最大值為5,即②錯誤;
由已知中y=f′(x)的圖象可得在[0,2]上f′(x)<0,即f(x)在[0,2]是減函數,即③正確;
當1.5<a<2時,函數y=f(x)﹣a有4個零點,故當1<a<2時,函數y=f(x)﹣a有2,3,4個零點,最多有4個零點,故④正確;
所以答案是:①③④.
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知圓錐曲線 E:
(I)求曲線 E的離心率及標準方程;
(II)設 M(x0 , y0)是曲線 E上的任意一點,過原點作⊙M:(x﹣x02+(y﹣y02=8的兩條切線,分別交曲線 E于點 P、Q.
①若直線OP,OQ的斜率存在分別為k1 , k2 , 求證:k1k2=﹣ ;
②試問OP2+OQ2是否為定值.若是求出這個定值,若不是請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系,對該校200名高三學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調查,如下表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)

將學生日均課外體育運動時間在上的學生評價為課外體育達標”.

平均每天鍛煉的時間(分鐘)

總人數

20

36

44

50

40

10

(1)請根據上述表格中的統(tǒng)計數據填寫下面列聯表,并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為課外體育達標與性別有關?

課外體育不達標

課外體育達標

合計

20

110

合計

(2)從上述200名學生中,按課外體育達標”、“課外體育不達標分層抽樣,抽取4人得到一個樣本,再從這個樣本中抽取2人,求恰好抽到一名課外體育不達標學生的概率.

參考公式:,其中.

參考數據:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】函數f(x)的定義域D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2D.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

(1)f(1)的值;

(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;

(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)(0,+∞)上是增函數,求x的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】若(2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.求:

(1)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;

(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a2+a3)2.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,為一臺冷軋機的示意圖,冷軋機由若干對軋輥組成,帶鋼從一端輸入,經過各對軋輥逐步減薄后輸出.(軋鋼過程中,鋼帶寬度不變,且不考慮損耗)

一對對軋輥的減薄率.

(1)輸入鋼帶的厚度為,輸出鋼帶的厚度為,若每對軋輥的減薄率不超過,問冷軋機至少需要安裝幾對軋輥?

(2)已知一臺冷軋機共有4對減薄率為的軋輥,所有軋輥周長均為,若第對軋輥有缺陷,每滾動一周在剛帶上壓出一個疵點,在冷軋機輸出的剛帶上,疵點的間距為,易知,為了便于檢修,請計算,,.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數f(x)=ex(e=2.71828…),g(x)為其反函數.
(1)求函數F(x)=g(x)﹣ax的單調區(qū)間;
(2)設直線l與f(x),g(x)均相切,切點分別為(x1 , f(x1)),(x2 , f(x2)),且x1>x2>0,求證:x1>1.

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【題目】某政府機關在編人員100人,其中副處級以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上級機關為了了解職工對政府機構改革的意見,要從中抽取一個容量為20的樣本,試確定用何種方法抽取,請具體實施操作.

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【題目】如圖,江的兩岸可近似的看成兩平行的直線,江岸的一側有A,B兩個蔬菜基地,江的另一側點C處有一個超市.已知A、B、C中任意兩點間的距離為20千米.超市欲在AB之間建一個運輸中轉站D,A,B兩處的蔬菜運抵D處后,再統(tǒng)一經過貨輪運抵C處.由于A,B兩處蔬菜的差異,這兩處的運輸費用也不同.如果從A處出發(fā)的運輸費為每千米2元,從B處出發(fā)的運輸費為每千米1元,貨輪的運輸費為每千米3元.

(1)設∠ADC=α,試將運輸總費用S(單位:元)表示為α的函數S(α),并寫出自變量的取值范圍;
(2)問中轉站D建在何處時,運輸總費用S最?并求出最小值.

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