Question

理科（本小題14分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個(gè)結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當(dāng)，時(shí)，對任意大于，且互不相等的實(shí)數(shù),都有

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，；（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時(shí).

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

函數(shù)在處取得極大值，故.   3分

（Ⅱ）令，  4分

則.函數(shù)在上可導(dǎo)，存在，使得.

又

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，；

故對任意，都有.   8分

（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)時(shí)，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.   9分

②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)時(shí)，

. 當(dāng)時(shí)，設(shè)正數(shù)滿足令，

 

則，且.

13分

當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.

綜上由①②，對任意，，結(jié)論恒成立.   14分

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式的證明，數(shù)學(xué)歸納法。

點(diǎn)評：難題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的基本問題。本題（III）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，難度較大。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。