Question

【題目】已知數(shù)列的前項和滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）記，是數(shù)列的前項和，若對任意的，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）記，是否存在互不相等的正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）不存在.

【解析】

（1）當時，，與題目中所給等式相減得：，即，又時，，解得：，所以.

（2）化簡得，由裂項相消得，，再根據(jù)不等式都成立，化簡得：，求出的最大值即可.

（3）假設存在互不相等的正整數(shù)，，滿足條件，則有.證明其成立的條件與，，互不相等矛盾即可.

（1）因為數(shù)列的前項和滿足，

所以當時，，

兩式相減得：，即，

又時，，解得：，

所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而.

（2）由（1）知：，

所以，

，

對任意的，不等式都成立，即，

化簡得：，令，

因為，

故單調遞減，

所以，故，

所以，實數(shù)的取值范圍是.

（3）由（1）知：，

假設存在互不相等的正整數(shù)，，滿足條件，

則有.

由與得，

即，

因為，所以.

因為，當且僅當時等號成立，

這與，，互不相等矛盾.

所以不存在互不相等的正整數(shù)，，滿足條件.